目標習得時間：1時間 問題数：2問
よく「積分は微分の逆」と言われますが、この考え方は表面的な計算しか見ておらず、かえって微分も積分も理解できない結果を招きます。従って、微分が「接線の傾きを求める計算」であったように、積分もその定義から理解する必要があります。
問1
当然、現時点で我々が面積を求められるのは、長方形、三角形、円など一部の図形だけです。従って、問題の面積を求めるためには、どうにかして我々が面積の公式を知っている図形にフィットさせていくことを考えます。
ここで、微分の回で導入した計算アプローチが役に立ちます。すなわち、一旦大雑把な形で近似しておいて、パラメータを変化させていくことで問題の図形に近づけていきます。今回は、0≦x≦2をn個に分割し、長方形を足し合わせて行くことで、問題の図形を作ることができそうです。
このイメージが出来上がれば、あとはこのn個の長方形の面積を足し合わせて、nを増やすだけです。
シグマ計算に不安がある場合は、復習しておきましょう。
さて、計算の意図はわかったと思いますが、最後の極限計算は少し難しく感じるかもしれません。n→∞のとき、1/n→0です。これも微分の定義で導入した計算同様、慣れだと思いますので、一旦気にせず先に進むことをお勧めします。
このように、複雑な図形の面積を求めることができるようになりました。そして、この面積を求める計算アプローチのことを積分と呼びます。さらに微分と同様、この計算を毎回実行するのはかなり骨が折れますので、公式化することにしましょう。
＜積分の定義＞
この公式がまるで微分の逆計算をしているようなので、「積分は微分の逆」と言われます。しかし、その定義をたどっていくと、両者は全く別の計算であることがわかると思います。まずはこの問1を復習して、積分という計算の意味をしっかり理解しましょう。
■積分は面積を求める計算
積分の問題は、とにかく面積を求めることに集約されます。問1は非常にシンプルな問題でしたが、積分の定義をしっかり理解した今であれば、既にほとんどの問題に対処可能です。
問2
微分もそうでしたが、特に積分計算では、公式よりも計算のアプローチを重視する必要があります。すなわちこの問題も、長方形の組み合わせで面積を表現することからスタートします。
この考え方を使うと、様々な図形の面積を求めることができるようになります。例えば当たり前のように使っている三角形の面積の公式も、積分を使って導出することができます。
■公式ではなく、計算アプローチが重要
積分は、この2問が解けるようになれば十分です。微分の時もそうでしたが、これ以上の論点はむしろ二次関数など他単元で習得する計算テクニックです。したがってこの単元では、面積を求める独特のアプローチに注目してもらうことが習得の近道だと考えます。
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