目標習得時間：1時間 問題数：4問
■公式さえ覚えれば解ける
この単元では「三角比」という新しい概念が導入されます。新しい概念ゆえに覚えなければいけないことも多いのですが、その一方で、公式さえ覚えてしまえばほとんどの問題が解けてしまう、比較的易しい単元とも言えます。実は数IIに「三角関数」という単元があり、数Iの「三角比」はその入門編という位置づけです。
■覚えること
いずれも暗記必須の公式ですが、中でも重要なのは「三角比の定義②」です。①の方がポピュラーな定義ですが、実はこの定義は測量計算の問題以外でほとんど役に立ちません。一方で②は、高校数学全体を通じて非常に重要な概念です。つまり何が大事なのかというと、これまで座標平面において我々が扱えたのは「直線(一次関数)」と「放物線(二次関数)」だけでしたが、これからは「円」も座標平面で扱えるようになる、ということです。
■公式さえ覚えておけばほとんど解ける
問1 ある山から5km離れた地点で山を見上げると、30度上方に頂上が見えた。山の高さを求めよ。
三角比で最初に習う測量の問題です。図を描いて三角比の定義に当てはめればすぐに解けます。
問題によっては、見上げている人の身長を足すケースなどのバリエーションがありますが、上記の基本さえ理解していれば問題文を読んだときに気づけるはずです。
■三角比は円の座標
問2 以下の条件を満たすθの範囲を求めよ。
先ほども話題に挙げたように、三角比の定義を「直角三角形の辺の比」と覚えておくのはほとんど役に立ちません。「三角比は円の座標」と覚えましょう。より具体的には、
- cosθは、半径1の円をθだけ回転した点のx座標
- sinθは、半径1の円をθだけ回転した点のy座標
と覚えておきます。これを知っているだけで、多くの問題が自然と解けるようになります。本問も、図にして考えれば一目瞭然です。
さて、問1、問2でも三角比の値をある程度覚えていることが前提になっています。多くの先生方は0°～180°(時には360°)まで覚えることを推奨し、まあ勉強しているうちに最終的には覚えてしまうかもしれませんが、わざわざ単語カードに書いて覚えるのは0°～90°で十分です。というのも「三角比は円の座標」という定義を押さえておけば、円は上下左右に対象なので、90°より大きな角の三角比は、0°～90°と符号が異なるだけです。さらに、いつどれが+で-なのか？という点も、cosがx座標、sinがy座標、ということから考えれば明らかです。ぜひ、教科書に書かれている180°までの三角比の値を確認してください。90°まで覚えれば十分、ということに気づくはずです。
■三角比の計算問題は、両辺二乗
問3
この手の計算問題は、現時点で全く意義がわからないのですが、 数II「三角関数」で頻出します。そのための基礎力として、ここで計算力を養うという目的です。
とにかく「与えられた式を二乗して、三角関数の相関関係を適用」ということだけ覚えておけば大丈夫です。
難しくないと思います。
■余弦定理は、角度を求める公式として覚えておく
問4 円に内接する三角形ABCについて、AB=BC=2、AC=3のとき、以下の値を求めよ。
(1) cos∠ABC
(2) sin∠ABC
(3) 外接円の半径
これはセンター試験でよく出題されるタイプの問題ですが、ただの計算問題なので、公式に順次当てはめていくだけで解けます。
余弦定理は、角度を求めるために使うことが多いです。まず余弦定理でcosだけ求め、相関関係を使ってsinを求める、というのは入試で頻繁に登場する流れなので、自然とできるようになっておく必要があります。
■公式さえ覚えれば解ける
最初と同じ話ですが、この単元は「三角比」という新しい概念を理解するハードルが高いものの、一度この公式さえ覚えてしまえば、非常に容易な計算問題ばかりです。この最初のハードルを越えられるまで、根気をもって取り組んでもらえればと思います。
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