目標習得時間：2時間 問題数：4問
■二次関数は、4問解ければ十分
中学で教わる二次関数から一気にレベルが上がりますが、ここで習得すべき問題は大きく4種類です。この4種類さえ解けるようになれば、二次関数はマスターしたと言ってよいでしょう。
- グラフの平行移動
- 二次関数の決定
- 最大値・最小値
- 二次方程式の解の範囲
今回は、この4種類の問題を順に確認していきます。
■平行移動は、公式として覚えておく
「グラフの平行移動」は高校の二次関数で最初に登場する概念ですが、これは意味はともかく公式として覚えてしまうのが最も簡単です。
非常に覚えやすいので、すぐ使えると思います。しかもこの公式はどんな関数にも適用できるので、一次関数や、いずれ登場する三次関数・四次関数でも使えるコスパのよい公式です。
問1
公式を当てはめるだけです。
非常に簡単です。
■「二次関数の決定」はただの連立方程式の問題
問2 以下の条件を満たす二次関数の式を求めよ。
「～を満たす二次関数を求めよ」というタイプの問題を「決定問題」と呼びますが、これは解法さえ知っていればもはやサービス問題です。その解法は以下です。
＜決定問題の解法＞
- 関数を
のいずれかと仮定する。
- 条件を当てはめて、連立方程式を解く
1でどちらの形式を採用するかという点、および問題で与えられる条件のパターンが様々な点は難易度を分ける要素としてありますが、 基本的に上記の解法ですべて解くことができます。
こちらも難しくないと思います。
■最大・最小はグラフで考える+場合分けを忘れない
問3 以下の二次関数の最大値・最小値を求めよ
3問目は「最大・最小問題」です。易しいものはグラフを描くだけで解けますが、この問題のように「パラメータa」が含まれてくると一気に難易度が上がります。しかし、この1問さえ解けるようになっておけば、全ての最大・最小問題に応用できるので、時間をかけてでも習得する価値があります。
まず、「最大値=グラフで一番上の点」「最小値=グラフで一番下の点」ということを思い出しておきます。そしてこの問題のケースでは、aの値に応じて最大・最小に以下のバリエーションがあると覚えておきます。
※等号はどこに含んでいても大丈夫です。この問題のケースでは、全てについていても答が一緒なのでOKですが、どこにも含まれていないのはNGです。
これを「覚えておく」必要があるのは、自力で思いつくのが非常に困難だからです。一方、これ一問さえ覚えておけば、様々なバリエーションの最大・最小問題に応用することができるので、非常に効率が良いと言えます。
さて、ここまで分かってしまえば、後は計算するだけです。
全部書けないと正答にならない点に注意してください。
今回の問題ではかなり多くの場合分けが必要でしたが、多くの問題ではaにも条件が付いていたり、最大・最小のどちらかだけ求めればよい場合がほとんどなので、計算量が最も多い今回のケースを習得しておけば、全出題パターンに対応可能です。
■方程式の解=グラフの交点のx座標
問4
まず問題に取り掛かる前に、重要な定理を覚えます。それは、
方程式の解=グラフの交点のx座標
です。もう少し数学的に表現すると、
f(x)=0の解は、y=f(x)とx軸の交点のx座標
です。これは高校数学全体を通じて非常に重要な概念なのですが、意外と学校で教わらないという残念な定理です。これを知っているだけで様々な問題が非常に簡単に解けるようになるおトクな考え方なので、ここで提示することにしました。
さて、今回の問題に当てはめてみると、この問題は、
と言い換えることができます。この関数は問3と同じものなので、問3の場合分けを応用すれば、
という4つのパターンに分けて考えれば良いとわかります。
ここまでできれば、あとは計算するだけです。
■今回の考え方は、今後様々な問題に応用可能
問3、問4では、敢えて難易度の高い問題を扱いました。しかし、ここで提示したグラフの形に応じた場合分け、および方程式の解=グラフの交点のx座標という考え方は、難関大学の入試レベルまで応用可能な非常に重要な概念です。これを習得できれば関数を一気に得意科目にできるので、時間をかけてでもチャレンジしていただければと思います。
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